Corpos e sistemas lineares $06/01/2021$

• Resumo

Um corpo é um conjunto não vazio $\mathbb{F}$ munido de duas operações: adição mais e multiplicação.

$\begin{aligned} +\colon\mathbb{F}\times\mathbb{F} & \longrightarrow\mathbb{F} \\ \left(x,y\right) & \longmapsto x+y \end{aligned}\qquad \begin{aligned} \cdot\colon\mathbb{F}\times\mathbb{F} & \longrightarrow\mathbb{F} \\ \left(x,y\right) & \longmapsto x\cdot y \end{aligned}$

e tais que en $\left(\mathbb{F},+\right)$

1. (Asociatividade na adição) $\left(x+y\right)+z=x+\left(y+z\right)$, $\forall x,y,z\in\mathbb{F}$;
2. (Existênza de neutro aditivo) $\exists0\in\mathbb{F}$ tal que $x+0=0+x=x$, $\forall x\in\mathbb{F}$;
3. (Existênza de elemento oposto o inverso aditivo) Dado $x\in\mathbb{F}$, existe $-x\in\mathbb{F}$ tal que $x+\left(-x\right)=\left(-x\right)+x=0$;
4. (Conmutatividade na adição) $x+y=y+x$, $\forall x,y\in\mathbb{F}$;

e $\left(\mathbb{F}\setminus\left\{0\right\},\cdot\right)$

1. (Associatividade na multiplicação) $\left(x\cdot y\right)\cdot z=x\cdot\left(y\cdot z\right)$, $\forall x,y,z\in\mathbb{F}$;
2. (Existênza do elemento neutro na multiplicação) $\exists 1\in\mathbb{F}$ tal que $x\cdot 1=1\cdot x=x$, $\forall x\in\mathbb{F}$;
3. (Existênza inverso multiplicativo) Dado $x\in\mathbb{F}\setminus\left\{0\right\}$, existe $x^{-1}\in\mathbb{F}$ tal que $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1$;
4. (Conmutatividade na multiplicação) $x\cdot y=y\cdot x$, $\forall x,y\in\mathbb{F}$;

• (Distributiva) $x\cdot\left(y+z\right)=x\cdot y+x\cdot z$, $\forall x,y,z\in\mathbb{F}$.

Resumo